|
| Vår exakta metod att beräkna integraler grundar
sig på att vi kan hitta en primitiv funktion F(x) till f(x). Ibland
kan detta vara omöjligt och i vissa fall kanske vi inte ens vet Om man ändå vill ha ett värde på integralen kan man beräkna den approximativt. Det finns flera sätt att beräkna en integral approximativt och den metod vi ska använda kallas trapetsmetoden och grundar sig på att området mellan kurvan och x-axeln approximeras med att antal parallelltrapets. |
||
| Numerisk (approximativ) beräkning av integraler används då: | ||
| 1) en värdetabell ger sambandet mellan x och f(x) | ||
| 2) en primitiv funktion saknas eller är krånglig att hitta | ||
| 3) ett diagram visar sambandet mellan x och f(x) | ||
| Approximera integralen med trapetsformeln | ||
I trapetsformeln arbetar man med parallelltrapetser. Arean av ett parallelltrapets kan beräknas med formeln:
Exempel: En kurva går genom punkterna (2, 4), (5, 6), (8, 3) och (11, 5). Beräkna approximativt arean mellan kurvan f(x) och x- axeln i intervallet x = 2 till x = 11 genom att dela upp arean under kurvan i parallelltrapets, det vill sgäa beräkna approximativt.
Figuren visar hur arean av området kan approximeras med tre parallelltrapets, det vill säga 3 delintervall.
|
||
I stället för att addera varje parallelltrapets för sig kan man härleda en formel som kallas trapetsformeln. Vi börjar med endast två parallelltrapets (= två delintervall) och beräknar arean mellan kurvan f(x) och x- axeln mellan a och b.
Beräkningen kan sammanfattas i den så kallade trapetsformeln. För två delintervall.
Om vi har fyra delintervall får vi:
Till sist delar vi upp området i n stycken (lika breda) delintervall:
Vi får trapetsformeln (för n delintervall). |
||
| Trapetsformeln:
|
||
Om vi nu använder trapetsformeln på vårt exempel får vi med tre delintervall h = (11 - 2)/3 = 3 och
alltså samma svar som tidigare. |
||
