Vi utgår från

(a + b)

Kvadrera

(a + b)²

Skriv om som en multiplikation

(a + b) × (a + b)

Utför multiplikatonen

a × a + a × b + b × a + b × b

Förenkla

a² + ab + ab + b²

Förenkla lite till

a² + 2ab + b²

Vi har härlett den första kvadreringsregeln:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Vi gör på samma sätt med

(a - b)

Kvadrera

(a - b)²

Skriv om som en multiplikation

(a - b) × (a - b)

Utför multiplikatonen

a × a + a × (-b) - b × a - b × (-b)

Förenkla

a² - ab - ab + b²

Förenkla lite till

a² - 2ab + b²

Den andra kvadreringsregeln:

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Ett tredje mycket användbart samband får man om man multiplicerar ihop (a + b) med (a - b)

Skriv upp multiplikationen

(a + b) × (a - b)

Utför multiplikatonen

a × a + a × (-b) + b × a + b × (-b)

Förenkla

a² - ab + ab - b²

Förenkla lite till

a² - b²

Konjugatregeln är klar!

(a + b)(a - b) = a² - b²

Exempel 1: Utveckla (x + 5)²

Lösning: Vi undersöker uttrycket och finner att vi ska använda första kvadreringsregeln.

Den ger:

(x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 5²

Efter förenkling:

x² + 10x + 25

Svar: x² + 10x + 25

Exempel 2: Utveckla (x - 4)²

Lösning: Nu använder vi andra kvadreringsregeln.

Den ger: 

(x - 4)² = x² - 2 × x × 4 + 4²

Efter förenkling:

x² - 8x + 16

Svar: x² - 8x + 16

Exempel 3: Utveckla (x² - 3x)²

Lösning: Nu använder vi andra kvadreringsregeln.

Den ger:

(x² - 3x)² = (x²)² - 2 × x² × 3x + (3x)²

Efter förenkling:

x⁴ - 6x³ + 9x²

Svar: x⁴ - 6x³ + 9x²

Exempel 4: Utveckla (x - 7)(x + 7)

Lösning: Använd konjugatregeln.

Den ger:

(x - 7)(x + 7) = x² - 7²

Efter förenkling:

x² - 49

Svar: x² - 49

Exempel 5: Utveckla (2x + 5)(5 - 2x )

Lösning: Vi kan inte direkt använda konjugatregeln här eftersom termerna inte har samma ordning. Går det att flytta om termerna i någon av parenteserna? Ja. I den första parentesen med plus mellan termerna kan vi utan vidare flytta om dem.

Det ger:

(5 + 2x)(5 - 2x) = 5² - (2x)²

Efter förenkling:

25 - 4x²

Svar: 25 - 4x²