Exempel 1: Funktionen f(x) = x² - 8x  är given.

a/ Har funktionen en max - eller en min-punkt?

b/ Beräkna koordinaterna för denna punkt.

c/ Beräkna funktionens nollställen.

Lösning:

a/ x² - termen är positiv vilket ger minimipunkt.

b/ Lös motsvarande andragradsekvation 0 = x² - 8x p-q-regeln ger

Minpunktens läge ges av första termen: 4 (framför ± -tecknet)

För att få punktens y-koordinat sätter vi in detta värde i funktionen.

f(4) = 4² - 8 × 4 = 16 - 32 = -16

Minpunktens koordinater är x = 4 och y = -16

c/ Funktionens nollställe ges av ekvationens lösningar. x₁ = 8 och x₂ = 0

Exempel 2. Para ihop följande formler med rätt graf.

A: f(x) = x² - 5
B: f(x) = -x² + 3
C: f(x) = x² + 4x
D: f(x) = x² - 2x + 2

Lösning: Vi ska först utnyttja att tecknet på x² - termen ger att kurvan har en max- eller en minpunkt.

Tre kurvor, den röda, den gröna och den svarta har en minpunkt och en, den blåa, har en maxpunkt.

Den blå kurvan hör ihop med en formel med negativ x²-term. Det betyder att den hör ihop med B.

Den andra egenskapen vi ska använda är att c, taltermen i formeln ger kurvans skärning med y-axeln.

Den svarta kurvan skär y-axeln i 2.
Formel D har taltermen 2.
Alltså hör svart kurva och D ihop.

Den gröna kurvan skär y-axeln i 0. Samma resonemang ger att den svarar mot formel C.

På samma sätt finner vi att den röda kurvan svarar mot formeln A.

Svar: Formel A - röd kurva, formel B - blå kurva, formel C - grön kurva, formel D - svart kurva.

Exempel 3: En bonde ska göra en rektangulär hage med 200 meter stängsel.

Han funderar på hur hagens area beror av sidornas längd. Är det så att hagen alltid har samma area oavsett hur man väljer sidornas längd?

Bonden hade studerat matematik så istället för att göra fullskaleförsök, tog han fram papper och penna och gjorde en matematisk undersökning.

Han började med att kalla hagens ena sida för x och ställde sen upp en funktion för arean och med hjälp av den löste han problemet.

Nu är frågan: Vad kom han fram till?

Vår uppgift blir att:

a/ Ta reda på denna funktion?
b/ Vilken definitionsmängd har den?
c/ Beror hagens area av sidornas längd, och om den gör det
   vad är den maximala arean ?

Lösning:

a/ Rita en figur och kalla kortsidan x. Vi vet att omkretsen är 200 m.

Längden av de två långsidorna blir: 200 - 2x

En långsida blir hälften så stor: (200 - 2x)/2 = 100 - x

Area-funktionen blir: f(x) = x (100 - x) 

b/ Minsta värdet på x är noll. Största värdet är 100 m.
D_f = { 0 < x < 100 }

c/ Vi har andragradsfunktionen f(x) = 100x  - x^2. Den har olika värde beroende på värdet på x. Svaret på frågan blir att hagens area beror på hur man väljer dess sidor.

Hur stor area kan hagen få? Negativ x²-term ger att funktionen har en maxpunkt.

Löser vi motsvarande andragradsekvation får vi dess läge.

100x  - x² = 0

Ändra alla tecken och skriv om: x² - 100x = 0

p-q-regeln ger:
     

Maxpunkten ligger vid 50.

Maxvärdet får vi genom att sätta in 50 i funktionen.

f(50) = 100 × 50 - 50² = 5000 - 2500 = 2500

Svar:

a/ Funktionen blir   f(x) = x (100 - x)

b/ D_f = { 0 < x < 100 }

c/ Hagens area beror på sidornas längd. Störst area är 2500 m²