Komplementhändelse

Vi ser på ett slumpförsök som består i att singla slant fyra gånger. För att få tag i utfallsrummet gör vi ett träddiagram:

Här betyder G gubbe och K krona. I den nedre raden är utfallen numrerade från 1 till 16. Utfallsrummet består av 16 utfall, alla med sannolikheten 1/16. Vi ska se på händelsen A = {få minst en gubbe} och beräkna P(A).

Vilka utfall ingår i A? Vi kan beskriva A på olika sätt. Ett sätt är att räkna upp alla utfall som ger minst en gubbe.

• Utfall med gubbe en gång:
  (KKKG), (KKGK), (KGKK), (GKKK)
• Utfall med gubbe två gånger:
  (KKGG), (GKKG), (GGKK), (KGKG), (KGGK), (GKGK)
• Utfall med gubbe tre gånger:
  (KGGG), (GKGG), (GGKG), (GGGK),
• Utfall med gubbe fyra gånger:
  (GGGG)

Totalt blir det: 4 + 6 + 4 +1 = 15 utfall.

Sannolikheten för A blir 15/16.

Det gick alltså att få tag i händelsen A genom att räkna upp alla utfallen men det är lite omständigt. Vi ska undersöka om det finns en smidigare metod.

Utför man ett slumpförsök så kommer alltid händelsen A eller komplementhändelsen B att inträffa. Därför gäller för sannolikheterna:

Vi ser åter på exemplet ovan. Vi ska alltså bestämma sannolikheten för händelsen A = {få minst en gubbe}.

Vi söker först komplementhändelsen B till A. I B ingår alla utfall som ej ingår i A. Det är de utfall som ger mindre än en gubbe, det vill säga ingen gubbe.

Det finns bara ett sådant utfall, nummer 16 i figuren. Det ger B = {KKKK} Sannolikheten för B: P(B) = 1/16

Nu vet vi att P(A) + P(B) = 1 vilket ger P(A) = 1 - P(B)

Vi får P(A) = 1 - P(B) = 1 - 1/16 = 15/16

Vilken metod var enklast? I det här fallet kommer man fram till svaret betydligt snabbare genom att se på komplementhändelsen.