|
|
Sambandet mellan integral och derivata insågs först av Isaac Newton (1643 - 1727) och Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716). Integralen kan tolkas som en area. Om vi ritar grafen till funktionen y = f(x) kan integralens värde tolkas som arean av det område som ligger mellan grafen och x-axeln.
Vi ska snart visa ett viktigt samband mellan integral och primitiv funktion och att arean ovan kan beräknas med integralkalkylens huvudsats.
Detta kallas en Riemannsumma efter den tyske matematikern Bernhard Riemann (1826 - 1866).
Vi kommer aldrig att behöva använda definitionen ovan, men det är viktigt att förstå sambandet mellan integral och Riemann- summa. Man kan använda integraler till annat än att beräkna areor, till exempel att beräkna sträckan s som en bil tillryggalägger under en viss tid. Hastigheten = v(t) m/s. Hur långt hinner bilen från t = a till t = b?
Rektangelns area kommer då att ha samma värde som den vägsträcka bilen tillryggalägger under en liten tid.
Mätetalet för arean mellan kurvan och t- axeln är alltså lika med en sträcka med enheten meter (i detta fall), dvs vad det blir för enhet på mätetalet beror helt på vad man beräknar med integralen. Det är bara när vi beräknar en area som enheten blir a.e. Enheten fås lätt om vi multiplicerar axlarnas enheter med varandra. Här blir det:
I många tillämpningar har man funktioner som antar både positiva och negativa värden i ett intervall. Kurvan y = f(x) ligger då både över och under x- axeln.
Om man tänker på integralens definition som en summa, inser man att om samtliga funktionsvärden f(x) är negativa så blir även summan av alla
I figuren ovan är alltså A positiv och B negativ.
|
