Approximativ lösning av ekvationer med Newton - Raphsons metod

En approximativ metod för att lösa ekvationer utarbetades i slutet av 1600-talet av Isaac Newton och Joseph Raphson. En del problem leder fram till ekvationer som inte går att lösa exakt utan man måste ta till någon metod som ger ungefärliga värden. En sådan metod är Newton- Raphsons metod, som bygger på ett upprepningsförfarande, en iteration.

Om vår ekvation är f(x) = 0 med roten x = a grundar sig metoden på att vi nära x = a approximerar kurvan y = f(x) med sin tangent. Vi väljer ett startvärde x = x₀
(som är ett ungefärligt värde på roten och som vi får fram genom att vi ritar grafen y = f(x)) och i punkten (x_0,f(x₀)) drar vi en tangent, som vi drar ut tills den skär x- axeln. Denna skärningspunkt har nu x- koordinaten x₁.

Tangentens riktningskoefficient i punkten

ger tangentens ekvation:

Vi bestämmer x₁, som är tangentens skärningspunkt med x- axeln, det vill säga y = 0 då x = x₁. Insatt i tangentens ekvation fås:

Lös x₁

Detta värde x₁ är ett bättre värde på roten a än vårt startvärde.

En ny tangent ritas till funktionens graf, denna gång i punkten med x- koordinaten x₁. Även denna tangent dras ut tills den skär x- axeln i punkten med x- koordinaten x₂.

Om vi upprepar samma procedur med startvärdet x₁ får vi:

Om vi sammanfattar får vi:

Newton - Raphsons formel: 

Varje nytt x- värde är ett bättre värde på roten än det föregående och vi avslutar proceduren då förändringen av x- värdena är tillräckligt liten. Hur liten beror på hur noggrannt svar vi vill ha.

Nedan följer exempel på ekvationer som man måste lösa approximativt eftersom de inte går att lösa exakt.

Exempel 1: Lös ekvationen x³ + 4x² - 13 = 0
Exempel 2: Lös ekvationen x³ - 3x² + 1 = 0
Exempel 3: Lös ekvationen lnx = sinx (Detta exempel förutsätter att du kan räkna med radianer.)
Exempel 4: Lös ekvationen