Trianglars vinkelsumma

Beteckningar:

Triangeln är en geometrisk figur med tre sidor och tre hörn. Själva triangeln betecknas DABC.

Hörnen betecknas med stora bokstäver, som A, B och C. A, B och C kan också stå för motsvarande vinklar.

Sidorna i triangeln kallas AB, BC och AC. De kan också betecknas med små bokstäver a, b och c på så sätt att sidan a står mot vinkeln A, sidan b står mot vinkeln B och sidan c mot vinkeln C.

Vinkelsumma:

Vinkelsumman i en triangel är 180°. Ett bevis för den satsen kan se ut så här:

Två parallella linjer korsas av två andra enligt figur.

Vi vill beräkna summan av de tre vinklarna A, B och C i triangeln.

Vi börjar vid den övre linjen.

Där finns tre vinklar u, B och v som tillsammans blir en rak vinkel.

Det vill säga: u + B + v = 180° ( 1 )

Nu är vinklarna A och u alternatvinklar. Det innebär att de är lika.

Av samma skäl är vinklarna v och C lika.

Vi kan alltså byta u mot A och v mot C i formel 1 ovan.

Resultatet blir: A + B + C = 180° ( 2 )

Vi har alltså visat att:

Vinkelsumman i en triangel är 180°.

Exempel 1: I en triangel ABC är vinkel A = 75° och B = 35° . Beräkna den tredje vinkeln C.

Lösning: Använd formeln för triangelns vinkelsumma. A + B + C = 180°

Lös ut C:

C = 180° - A - B = 180° - 75° - 35° = 70°

Svar: C = 70°

Exempel 2: I en triangel ABC förhåller sig vinklarna som 4 : 5 : 3 enligt figur. Bestäm dess vinklar.

Lösning: Triangelns vinkelsumma ger A + B + C = 180°.

Sätt in uttryck på A, B och C 

4x + 5x + 3x = 180°

Förenkla

12x = 180°

Lös ut x

x = 15°

Nu blir

A = 4x = 4 × 15° = 60°

B = 5x = 5 × 15° = 75°

C = 3x = 3 × 15° = 45°

Svar: A = 60° , B = 75° och C = 45°