Flerstegsförsök

Exempel: Vi har en urna med 2 vita och 2 röda kulor. Vi plockar upp 2 kulor efter varandra från urnan. Vad är sannolikheten för att få 2 röda kulor?

Lösning: Detta är ett försök i två steg som man kan beskriva med ett träddiagram. I första steget kan kulan vara röd eller vit. Vi ritar upp de två fallen som grenar och sätter ut sannolikheten för varje gren. Träddiagrammet blir:

I nästa steg kan vi också få en röd eller en vit så vi bygger på trädet. Nu har sannolikheterna förändrats. De beror på om vi fick en röd eller vit kula i första dragningen.

Fick vi en röd kula först sjunker sannolikheten för att få en röd i andra dragningen. Det finns då bara en röd kula av tre kulor så sannolikheten blir 1/3.

På samma sätt blir sannolikheten för att få en vit kula 2/3. Fick vi istället en vit först så blir sannolikheterna omvända.

Träddiagrammet blir:

Vi ska beräkna sannolikheten för att få två röda. Vi ser efter i träddiagrammet vilket eller vilka grenar som ger två röda. Det är bara en gren, den vänstra, som ger röd - röd.

För att få sannolikheten för denna gren går vi från toppen ner till botten och multiplicerar de sannolikheter som vi möter på vägen.

Vi får :

Nu kan man fråga sig varför vi multiplicerade sannolikheterna med varann. Skälet är följande. Antag att vi gör försöket 6000 gånger. De stora talens lag säger då att vi kommer att få en röd kula i första dragningen cirka 3000 gånger. När vi går vidare kommer cirka en tredjedel av dessa att följas av en röd kula till, det vill säga i cirka 1000 fall. Vi ser att 1000 fall av 6000 ger en sjättedel.

Vi kan också kontrollera det rimliga i vår metod genom att beräkna sannolikheterna för alla grenar och se om det blir ett tillsammans.

röd-röd ger   1/2 ×1/3 = 1/6

röd - vit ger   1/2 ×2/3 = 2/6

vit - röd ger   1/2 ×2/3 = 2/6

vit - vit  ger   1/2 ×1/3 = 1/6

Summan blir 1/6 + 2/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1

Det stämmer!