Exempel 2:
Tredjegradsekvation med flera reella rötter.

Ekvationen x³ - 3x² + 1 = 0 har tre reella rötter. Beräkna dessa med tre korrekta decimaler.

Lösning:

Vi börjar med att skissa kurvan f(x) =  x³ - 3x² + 1 . Vi ser att kurvan skär x- axeln i tre punkter och det betyder att ekvationen x³ - 3x² + 1 = 0 har tre (reella) rötter eller nollställen som är lika med x- värdena i skärningspunkterna.

Kurvan skär x- axeln i närheten av x = -1, i närheten av x = 1 och i närheten av x = 3. Vi väljer alltså dessa x- värden som startvärden i tur och ordning.

Någon gång händer det att man råkar välja ett startvärde som ger nämnaren = 0 i iterationsformeln (man kan ha hamnat på ett extremvärde till exempel) och då fungerar förstås inte formeln, utan man får ta ett nytt startvärde.

Vi tar fram Newton- Raphsons iterationsformel.
f(x) = x³ - 3x² + 1
Vi deriverar f(x) och får f´(x) = 3x² - 6x.
Vi sätter in f(x) och f´(x) i Newton- Raphsons formel och får:

Vi programmerar in Newton- Raphsons formel på grafräknaren.

Rot 1)
Börja med att mata in det första startvärdet x = - 1 och därefter formeln i vilken vi ersätter x₀ med enligt följande:

-1

- ( ^3 - 3 ^ 2 + 1) / (3 ^2 - 6 )

ger värdet - 0,667
ger värdet - 0,549
ger värdet - 0,532
ger värdet - 0,532

Första roten är alltså - 0,532 (med 3 korrekta decimaler).

Rot 2)
Sedan tar vi nästa startvärde x = 1.

1

För att slippa skriva in formeln på nytt kan vi trycka

och formeln kommer då automatiskt att visas i fönstret.

ger värdet 0,667
ger värdet 0,653
ger värdet 0,653

Andra roten är alltså 0,653 (med 3 korrekta decimaler).

Rot 3)
Sista startvärdet är x = 3.

3

(alternativt skriv in formeln på nytt)

ger värdet 2,889
ger värdet 2,879
ger värdet 2,879

Tredje roten är alltså 2,879 (med tre korrekta decimaler).

Svar: x₁= - 0,532, x₂= 0,653 och x₃= 2,879.