Egenskaper hos andragradsfunktioner

Allmänt kan en andragradsfunktion skrivas som y = ax2 + bx + c

Vi ska undersöka hur talen a, b och c påverkar kurvans form och läge i ett diagram.

Talet a och kurvans form

Vi börjar med att se på talet a framför x2 -termen. Är detta tal positivt så har kurvan en minimipunkt, är det negativt har kurvan en maximipunkt.

Varierar man storleken på a så finner man att större a (bortsett från tecknet) ger spetsigare kurva och mindre a (bortsett från tecknet) ger trubbigare kurva.

Övning: Rita med hjälp av grafritaren kurvorna y = 0,2x2, y = x2 och y = 5x2 och jämför deras form. Pröva gärna med andra värden på a.

Talet b och symmetriaxelns läge

Vi går vidare med talet b framför x. Detta tal har med läget av symmetriaxeln att göra. Hur man får fram detta läge ska vi se i ett exempel.

Exempel: Bestäm symmetriaxeln till kurvan y = 3x2 - 6x - 9

Lösning: Vi vet att kurvan är en parabel med en min.punkt eftersom x2-termen är positiv. Om kurvan har två nollställen så ligger symmetriaxeln mittemellan dessa. Låt oss ta fram nollställena, de punker där kurvan skär x-axeln.

På x-axeln är  y = 0 och vi får ekvationen:

0 = 3x2 - 6x - 9

Detta är en andragradsekvation som vi löser på vanligt sätt.

Börja med att göra om till normalform genom att dividera med 3:

Vi får:

0 = x2 - 2x - 3

Därefter ger p-q-regeln:

Det vill säga:

x1 = 3 och x2 = -1

Symmetriaxeln ligger mittemellan x1 och x2

Svar: Symmetriaxeln är linjen x = 1.

Tittar vi i uträkningen ovan med p-q-regeln ser vi att första termen är:
-(-2)/2 = 1 vilket är symmetriaxelns läge. Detta är ingen slump, utan i p-q-regeln är alltid första termen lika med symmetriaxelns läge. Den andra termen i regeln ger hur långt från symmetriaxeln som nollställena finns.

I uträkningen ovan som gav symmetriaxelns läge utgick vi från:
b = -6

Det delade vi med talet a = 3 för att få ekvationen på normalform.

Därefter säger p-q-regeln att vi ska byta tecken och dela med 2.

Resultatet blir att symmetriaxelns läge styrs både av a och b.
Dess läge ges av :

Större b Þ kurvan åker till vänster

Mindre b Þ kurvan åker till höger

Större a Þ kurvan åker till höger

Mindre a Þ kurvan åker till vänster

Taltermen c  och kurvans läge i y-led

Ser vi slutligen på taltermen c så har den samma betydelse som talet m i den räta linjens ekvation. Den anger var kurvan skär y-axeln. Prövar vi olika värden på c finner vi:

Större c Þ kurvan åker uppåt i diagrammet.

Mindre c Þ kurvan åker nedåt i diagrammet.

Övning: Rita med hjälp av grafritaren kurvor med olika värden på a, b och c och se hur kurvan förändras. Börja till exempel med a = 1, b = 0 och c = 0 och ändra sedan första a, sedan b och c.

Sammanfattning:

I formeln y = ax2 + bx + c ger talet a kurvans form.

Talet b ger tillsammans med talet a symmetripunktens läge.

Dess läge är vid

Talet c är kurvans skärning med y-axeln.