Hur uppkommer en differentialekvation?

Vi ska nu gå igenom fler exempel på hur man kan ställa upp en matematisk modell av verkligheten.

Exempel 1:

Antalet sniglar i en trädgård ökar med tillväxthastigheten 7 % per vecka av det aktuella antalet. Vid ett tillfälle fanns det 250 sniglar. Om vi låter y vara antalet sniglar efter x veckor får vi differentialekvationen.

med begynnelsevillkoret y(0) = 250.

b) Hur många sniglar bör det finnas i trädgården efter 3 veckor?

Lösning a):

Vi ska kontrollera att den föreslagna funktionen är en lösning.

VL = HL och lösningen stämmer.

Vi undersöker om bygynnelsevillkoret är uppfyllt:

Alltså är begynnelsevillkoret uppfyllt.

Svar:

Lösning b):

Antalet sniglar efter 3 veckor blir:

Svar: Det bör finnas ungefär 310 sniglar efter 3 veckor.

Exempel 2:

Den hastighet med vilken kaffet i en termos svalnar är proportionell mot skillnaden mellan kaffets aktuella temperatur y °C och omgivningens temperatur 20°C enligt differentialekvationen

där t är tiden i timmar och y(0) = 86°C.

b) Efter en timma har kaffet svalnat till 78°C. Vilken temperatur har kaffet efter 4 timmar?

Lösning a):

VL = HL; lösningen stämmer.

Vi undersöker om bygynnelsevillkoret är uppfyllt:

Alltså är begynnelsevillkoret uppfyllt.

Lösning b):

Vi börjar med att bestämma k och använder villkoret
y(1) = 78 som vi sätter in i lösningen.

Svar: Efter 4 timmar är kaffets temperatur ca 59°C.

Exempel 3:

Ett rykte sprids i ett tättbefolkat område från mun till mun med en hastighet som är proportionell mot antalet personer y som känner till ryktet vid en viss tidpunkt t timmar. Från början var 150 personer informerade om ryktets innehåll.

a) Låt proportionalitetskonstanten vara k och uttryck detta med en differentialekvation.

c) Efter 12 timmar känner 2 500 personer till ryktets innehåll. När känner hela 10 000 personer till ryktet?

Lösning a):

a) Hastigheten är proportionell mot antalet personer som känner till ryktet vid en viss tidpunkt. Detta ger differentialekvationen:

Lösning b):

VL = HL; lösningen stämmer

Vi bestämmer k genom att vi vet att y(12) = 2 500.

Till sist ska vi bestämma t då y = 10 000

Svar: Efter ca 18 h känner 10 000 personer till ryktet.

Exempel 4:

En morgon vid åttatiden började en sjö att frysa till. Isens tjocklek y cm är en funktion av tiden t timmar efter att vattnet börjat frysa. Isens tillväxthastighet kan antas vara omvänt proportionell mot isens tjocklek.

a) Ange den differentialekvation som beskriver förloppet om proportionalitetskonstanten är k.

Visa att y är en lösning till differentialekvationen i a)

c) Efter en timme var isen 1 cm tjock. För att man ska kunna åka skridskor på isen krävs att tjockleken är minst 3 cm. Efter hur lång tid kan man tidigast börja åka skridskor på isen?

Lösning a):

Eftersom tillväxthastigheten är omvänt proportionell mot isens tjocklek y får vi sambandet:

Lösning b):

Vi börjar med att derivera y.

VL = HL och lösningen stämmer.

Lösning c):

Vi bestämmer proportionalitetskonstanten k ur sambandet y (1) = 1 (efter 1 timme var isen 1 cm tjock).

Lösning:

För att man ska kunna åka skridskor krävs att isen är 3 cm tjock.

Svar: Efter 9 h kan man åka skridskor på isen.