Exakt beräkning av integraler

Vi ska försöka hitta ett samband mellan funktion och areafunktion och undersöker sambandet genom att teckna arean mellan en graf och x- axeln för några enkla funktioner.

A = arean av en rektangel
A = b · h
A(x) = x · f(x)
A(x) = x · 3 = 3x

Om vi till exempel sätter in x = 3 får vi A(3) = 3 · 3 = 9

A = arean av en triangel

A = arean av ett parallelltrapets

Vi sammanfattar resultatet i följande tabell:

3	3x	9
3x		13,5
x + 3		13,5

Kan du upptäcka något samband mellan f(x) och A(x) ?

Svar: I samtliga fall är areafunktionen A(x) en primitiv funktion till f(x).

(För att se svaret måste du markera området efter Svar:)

Man kan visa att för samtliga kurvor f(x) gäller att areafunktionen är en primitiv funktion till f(x) (alltså inte bara då f(x) är en rät linje). Därför skriver vi F(x) i stället för A(x) i fortsättningen (som vi gjorde i avsnittet med primitiva funktioner).

Vi ska nu bestämma arean A av det färgade området nedan.

Vi har tidigare bestämt areafunktionen då f(x) = x + 3.

Den sökta arean blir skillnaden mellan F(5) och F(2) det vill säga:

Om vi tecknar arean med en integral kan vi skriva:

Allmänt gäller om vi ska beräkna arean av det färgade området nedan:

Denna kallas integralkalkylens huvudsats.Vilken primitiv funktion ska man välja? Om vi i stället för en primitiv funktion F(x) väljer alla primitiva funktioner F(x) + C får vi:

Vi kan alltså bortse från konstanten C då vi beräknar integraler.

Vi ska nu använda integralkalkylens huvudsats för att beräkna areorna ovan.

Om vi sätter x = 3 får vi:

Om vi sätter x = 3 får vi:

Om vi sätter x = 3 får vi: