Exempel 1: I ett garage står det 28 fordon, bilar eller motorcyklar. De har tillsamman 86 hjul. Hur många bilar och hur många motorcyklar finns det i garaget?

Lösning: Börja med att anta att det finns x bilar och y motorcyklar.

För att få upp den första ekvationen använder vi att det finns 28 fordon.

Ekvation 1 blir:

x + y = 28      (1)

Det finns 4 hjul på en bil och 2 hjul på en motorcykel.

Det ger ekvation 2:

4x + 2y = 86   (2) 

Tillsammans bildar de ekvationssystemet:

x + y = 28       (1)
4x + 2y = 86   (2) 

Använder vi additionsmetoden ska vi multiplicera en av ekvationerna med ett tal så att om vi sedan lägger ihop ekvationerna ska en av variablerna försvinna. Välj att multiplicera ekvation 1 med  -2.

Vi får:

-2x - 2y = -56    (1)
4x + 2y = 86      (2) 

Addera nu ekvationerna:

-2x+4x - 2y+2y = -56 + 86      (1) + (2)   

Förenkla

2x = 30

x = 15

Sätt in detta x-värde i ekvation 1 och förenkla.

15 + y = 28 

 y = 28 - 15

 y = 13

Svar: Det finns 15 bilar och 13 motorcyklar i garaget.

Exempel 2: En fotbollsklubb sålde både biljetter för vuxna och för ungdom till sina matcher. En vuxenbiljett kostade 80 kr och en ungdomsbiljett 35 kr. Om en match var helt utsåld med vuxenbiljetter skulle intäkterna bli 416 000 kr. En kväll hade en match 2328 betalande åskådare. Biljettkassan var då 123 870 kr. Hur många vuxna och hur många ungdomar var där?

Lösning: Antag att det var x vuxna och y ungdomar.

Publiksiffran ger den första ekvationen:

x + y = 2328         (1)

Biljettintäkterna ger den andra ekvationen:

80x + 35y = 123 870   (2) 

Tillsammans bildar de ekvationssystemet:

x + y = 2328                (1)
80x + 35y = 123 870   (2) 

Använder vi substitutionsmetoden ska vi lösa ut en av variablerna ur en av ekvationerna.

Låt oss lösa ut  x  ur ekvation 1. Vi får

x = 2 328 - y       (1)

Sätt in detta i ekvation 2 och förenkla.

80(2 328 - y) + 35y = 123 870

186 240 - 80y + 35y = 123 870

186 240 - 45y =  123 870

186 240 =  123 870 + 45y

186 240 - 123 870  =  45y

62 370  =  45y

62 370/45  =  45y/45

1 386 = y

y = 1 386

Sätt in detta y-värdet i ekvation 1 och förenkla.

x = 2 328 - 1386

x = 942

Svar: Det var 942 vuxna och 1 386 ungdomar på matchen.

Exempel 3: (Lite svårare exempel)Två städer, Astad och Bstad, med avståndet 154 km ligger båda vid en flod. Mellan städerna går en båt. När den åker från Astad till Bstad tar resan 11,0 h och när den åker tillbaka tar resan 7,0 h. Vi antar att floden flyter med jämn fart hela vägen och att båten åker med samma fart gentemot vattnet hela färden. Hur stor är båtens fart gentemot vattnet och med vilken fart flyter floden stilla fram?

Lösning: Antag att båtens fart gentemot vattnet är x km/h och vattnets fart i floden är y km/h.

För att lösa problemet ska vi teckna någon storhet på två olika sätt. Låt oss se på båtens hastighet gentemot stranden. Farten medströms kan skrivas som summan av båtens fart gentemot vattnet och vattnets fart gentemot stranden, med variabler:

x + y

Denna fart kan också beräknas då vi vet sträckan och tiden:

Vi kan ställa upp en första ekvation:

x + y = 22   (1)

Samma resonemang motströms ger båtens hastighet gentemot stranden till:

x - y

Beräkning av denna hastighet ger:

Den andra ekvationen blir

x - y = 14   (2)

Ekvationssystemet blir:

Adderar vi ekvationerna får vi:

x + x +  y - y =  22 + 14

2x = 36

 x = 18

Detta x-värde sätter vi in i någon av ekvationerna, till exempel den första:

18 + y = 22

 y = 22 - 18

 y = 4

Svar: Båtens fart gentemot vattnet är 18 km/h och vattnets fart gentemot fastlandet är 4,0 km/h.