Andraderivatan

När ett föremål är i rörelse, kommer den sträcka, s, som det har rört sig, att vara en funktion av tiden t, det vill säga s = s(t), som ofta kallas sträckfunktion.

Exempel 1.

Föremålets hastighet, v, är som vi har sett, en annan funktion av tiden t, nämligen v = v(t) = s´(t),
derivatan av sträckfunktionen . Den kallas hastighetsfunktion.

Exempel 1.

Exempel 2.

Slutligen har vi sett att föremålets acceleration, a, är en tredje funktion av tiden t, nämligen a = a(t) = v´(t), derivatan av hastighetsfunktionen.

Exempel 2.

Stenen i exempel 1 har som sagt höjdfunktionen
s(t) = 2 + 20 t - 5 t² och enligt lösningen är hastighetsfunktionen v(t) = s´(t) = 20 - 10 t.
Stenens accelerationsfunktion är då
a(t) = v´(t) = s´´(t) = - 10.
Stenens acceleration är konstant = -10 m/s², där minustecknet innebär att accelerationen strävar att dra stenen nedåt.

En enkel definition av andraderivatan:

Andraderivatan f´´(x)
(f-bis x)

av en funktion f(x) är den funktion man får om man

deriverar funktionen f(x) två gånger.

I exemplet ovan hade andraderivatan en så konkret betydelse att man givit den storhet som den beskriver ett särskilt namn, acceleration.

Så är inte alltid fallet, men även då har andraderivatan en innebörd som vi snart kommer att ha nytta av.

Andraderivatan och grafens utseende

Innan vi beskriver denna innebörd ska vi införa två begrepp. En kurva, som inte är en rät linje, kan kröka sig på två sätt: Om den kröker sig uppåt, som i följande tre bilder, säger vi att kurvan är konkav uppåt.

Observera att den mittersta kurvan kröker sig uppåt även om den lutar nedåt!

Om den kröker sig nedåt, som i följande tre bilder, säger vi att kurvan är konkav nedåt.

Observera att den mittersta kurvan kröker sig nedåt, även om den lutar uppåt!

En kurva kan också växla mellan dessa två sätt att kröka sig.

Vi ska nu visa hur man kan bestämma krökningen med hjälp av andraderivatan.

Vi använder följande exempel:

y = x3-7x + 6	Vi tittar först på intervallet x < 0.	y´= 3x2-7
	Vad händer med pilens riktning? Klicka på vänster bild! x y´ -2,5 -2 -1,5 -1 0

Slutsatser: Om kurvan är konkav nedåt, så är dess lutning avtagande. Då är derivatan en avtagande funktion. Men en avtagande funktion har negativ derivata - alltså är andraderivatan negativ. Om andraderivatan är negativ är kurvan konkav nedåt. Om kurvan är konkav uppåt, så är dess lutning växande. Då är derivatan en växande funktion. Men en växande funktion har positiv derivata - alltså är andraderivatan positiv. Om andraderivatan är positiv är kurvan konkav uppåt.

Nu vill vi slutligen påminna om ett resultat från Matematik C:

Om derivatan växlar tecken (då menar vi alltså + eller -) på detta sätt: - 0 +, så har funktionen ett mimimum i punkten.

Om derivatan växlar tecken på detta sätt: + 0 -, så har funktionen ett maximum i punkten.

Men om andraderivatan är positiv när derivatan växlar tecken, så måste teckenväxlingen vara - 0 + , för då är derivatan växande...

...och om andraderivatan är negativ när derivatan växlar tecken, så måste teckenväxlingen vara + 0 - , för då är derivatan avtagande.

Gå igenom bilderna ovan några gånger, så ser du att det stämmer.