Exempel på andraderivatan


Exempel 1:

Sök extrempunkter på en graf.

Konstruera kurvan till funktionen: f(x) = x2 - 6x + 5

Lösning:

Vi ska först finna de intressanta punkterna på kurvan. Det är extrempunkterna där derivatan är noll och de punkter där kurvan skär axlarna. Här ska vi söka extrempunkter:

1.

Derivera!    f '(x) = 2x - 6
2.

Sätt derivatan lika med noll!

f '(x) = 0
2x - 6 = 0
2x = 6
x = 3

Vi har funnit att x = 3 ger en extrempunkt, men vilken typ?
3. Vilken typ av extrempunkt? Det finns två olika metoder att avgöra detta. I den ena gör vi ett teckenschema och i den andra ser vi på andraderivatan.

Metoden med teckenschema har vi gått igenom tidigare i kurs C och vi ska därför titta närmare på den andra metoden med andraderivatan.
 

Se på andraderivatan

Andraderivatan har information om punktens typ. Regeln lyder:

f ''(x) < 0 ger en maxpunkt

f ''(x) > 0 ger en minpunkt

Är f ''(x) = 0 kan vi inte säga något om punkten. Den kan vara en max-, min- eller terasspunkt.

Vi utgår från funktionen f(x) = x2 - 6x + 5 och deriverar den två gånger.

f '(x) = 2x - 6  och f ''(x) = 2

f '(x) är noll för x = 3.

Vi sätter in detta värde i andraderivatan f ''(3) = 2 och finner att andraderivatan är positiv. Detta betyder att punkten är en minpunkt.

Minimipunkten har y-koordinaten: y = 32 - 6·3 + 5 = -4
Minimipunkten har alltså koordinaterna: x = 3 och y = - 4
Kurvan ser ut så här:  

Exempel 2:

Summan av en rektangels fyra sidor är 30 cm. Hur stora ska sidorna vara för att arean ska bli maximal?

Lösning:

Teckna rektangelns omkrets med x och y 2x + 2y = 30
Lös ut y 2y = 30 - 2x
y = 15 - x 
Teckna arean A(x) = xy 
Sätt in uttrycket för y så arean blir en funktion av x A(x) = x(15 - x)
Förenkla A(x) = 15x - x2

Nu ser vi på funktionens definitionsmängd.
Minsta möjliga värde på x är 0 eftersom x är en längd.
Största möjliga värde på x är 30 / 2 = 15 cm
(omkretsen är 30 cm och det finns 2 st x-sträckor)
 DA = {0 < x < 15}

Nästa steg är att ta fram extrempunkterna genom att undersöka var derivatan är lika med noll.

Derivera A(x) A '(x) = 15 - 2x
Sätt derivatan lika med noll 15 - 2x = 0
Lös x 15 = 2x
x = 15/2
x = 7,5
För att avgöra vilken typ av extrempunkt det är tar vi fram andraderivatan: A ''(x) = - 2

Andraderivatan är negativ för alla x. Det innebär att x = 7,5 ger en max.punkt.

Dessutom måste vi se på intervallets ändpunkter, det vill säga x = 0 och x = 15

Vi beräknar funktionsvärdena för ändpunkterna.

A(0) = 15 × 0 - 02 = 0
och
A(15) = 15 × 15 - 152 = 225 - 225 = 0

Båda ändpunkterna ger areor mindre än då x = 7,5. Vi kan säkert säga att x = 7,5 cm ger största arean. Det ger sidan y = 15 - 7,5 = 7,5 cm.

Maximala arean blir:  x × y = 7,5 × 7,5 cm2 = 56,25 cm2

Svar: Sidorna ska båda vara 7,5 cm för att få maximal area.

Exempel 3:

Man ska göra tre lika stora inhägnader vid en flod enligt figur med hjälp av 600 m stängsel. Hur ska sidorna x och y väljas så att arean på inhägnadernas area blir så stor som möjligt?

Lösning:

Utgå från stängslets längd och teckna ett samband mellan x och y. 4x + 3y = 600
Lös ut y.  3y = 600 - 4x
y = 200 - 4x / 3
Nu tecknar vi arean A(x) = 3xy
Sätt in uttrycket för y så arean blir en funktion av x A(x) = 3x(200 - 4x/3)
Förenkla  A(x) = 600x - 4x2

Nu ska vi se på funktionens definitionsmängd.
Minsta möjliga värde på x är 0.
Största möjliga värde är 600 / 4 = 150 m
(vi har 600 m stängsel och det finns 4 st x-sträckor)
DA = {0 < x < 150}

Nästa steg är att ta fram extrempunkterna:

Derivera A(x) A '(x) = 600 - 8x
Sätt derivatan lika med noll 600 - 8x = 0 
Lös ut x 600 = 8x
x = 600/8 = 75
För att avgöra vilken typ av extrempunkt det är tar vi fram andraderivatan: A ''(x) = - 8

Andraderivatan är negativ för alla x.
Det innebär att x = 75 ger en max.punkt 

Även ändpunkterna är extrempunkter, därför beräknar vi funktionsvärdena för dem.

A(0) = 600 × 0 - 4 × 02 = 0
och
A(150) = 600 × 150 - 4 × 1502 = 90 000 - 90 000 = 0
Nu kan vi säkert säga att bara x = 75 m ger en max.punkt.
Det ger sidan y = 200 - 4 × 75 / 3 = 100 m.

Maximala arean blir:  3xy = 3 × 75 × 100 m2 = 22 500 m2

Svar: Sidorna ska var x = 75 m och y = 100 m för att arean ska bli så stor som möjligt