Teckna integraler

Innan vi lär oss beräkna integraler ska vi lära oss att teckna några areor med hjälp av integraler.

Exempel 1:

Teckna areorna av de färgade områdena.

a) Området begränsas av kurvan y = 4 - 0,5x², x-axeln och linjerna x = -2 och x = 1.

I uttrycket för arean

b) Området begränsas av kurvan y = sinx och x-axeln.

c)

Kurvorna skär varandra då x = 2.

Eftersom området begränsas av mer än en kurva måste vi teckna arean som en summa av flera integraler.

Totala arean A blir då lika med:

Exempel 2:

Bromskraften F(x) N på ett fordon är vid ett tillfälle
F(x) = 400x, där x är vägsträckan i meter. Teckna med hjälp av integral ett uttryck för det arbete A som bromskraften uträttar på fordonet då fordonet förflyttar sig 25 m medan inbromsningen pågår.

(Arbetet A = kraften · vägen).

Lösning:

Bromskraften är inte konstant. Vi måste därför beräkna arbetet med en integral. (Om bromskraften hela tiden varit konstant hade vi inte behövt beräkna den med hjälp av integral. Då hade vi kunnat sätta in värdena direkt i formeln för arbete).

Arbetet kan alltså tolkas som arean av området mellan grafen och x-axeln.

Exempel 3:

Tolka i ord betydelsen av de skuggade områdenas areor.

a)

Lösning:

På lodrät axel har vi hastighet och på vågrät axel har vi tid.

Om vi multiplicerar dessa får vi hastighet · tid som ger en sträcka. Det vill säga s = v · t.

b)

Lösning:

På lodrät axel har vi marginalkostnad och på vågrät axel har vi antal enheter.

Om vi multiplicerar dessa får vi marginalkostnad · antal enheter som ger en kostnad.

Svar: Arean betyder kostnadsökningen K kr från a till b stycken enheter.