Derivata av sammansatta funktioner

En funktion y = sin 4x kan betraktas som sammansatt av två funktioner, en yttre funktion och en inre funktion. (Till skillnad från funktionen y = sinx som inte betraktas som en sammansatt funktion utan kallas en elementär funktion).

Om man i den sammansatta funktionen gör substitutionen u = 4x (inre funktionen) så blir den den yttre funktionen y = sin u.

I tabellen nedan finns exempel på flera sammansatta funktioner som vi ska bestämma derivatorna till.

Sammansatt funktion	Yttre funktion	Inre funktion
y = sin 4x	y = sin u	u = 4x
	y = sin u
	y = u³	u = cos x
	y = u³	u = cos (x² + x + 1)

I mängddiagrammet nedan kan man se hur man vid substitutionen i den sammansatta funktionen först avbildar x på u med funktionen u = g(x) och sedan avbildar u vidare på y med funktionen y = f(u).

Detta är alltså samma sak som om man avbildar x direkt på y med den sammansatta funktionen y = f (g(x)). 

När vi ska ta fram derivatan till den sammansatta funktionen

kan vi börja med att skriva om den på följande sätt:

   I detta uttryck kan vi sedan dividera och multiplicera med en lämplig differential (i det här fallet du)

Vi har alltså fått följande regel som kallas kedjeregeln:

det vill säga då man söker derivatan för den sammansatta funktionen kan man multiplicera derivatan för den yttre  funktionen (yttre derivatan) med derivatan för den inre  funktionen (inre derivatan).

Vi ska nu återgå till funktionen y = sin 4x och bestämma derivatan till den.

Med substitution:

Enligt kedjeregeln får vi då:

Alltså: y = sin 4x har derivatan y´ = 4cos 4x   

Utan substitution:

Eftersom många funktioner är sammansatta så sparar man mycket tid på att slippa substituera. Men det kräver en hel del träning. Man börjar då med den yttre derivatan och multiplicerar med den inre derivatan enligt följande:

Om vi använder beteckningarna i figuren ovan kan derivering av en sammansatt funktion skrivas (vi deriverar först sin 4x som då blir cos 4x och sedan deriverar vi 4x som blir 4:

Om vi inför skrivsättet: y = f(u) och u = g(x) kan formeln skrivas: 

Alltså: derivatan av den sammansatta funktionen =
yttre derivatan gånger inre derivatan.

Regel för derivata av sammansatt funktion