|
| Vi har tidigare deriverat funktioner som till exempel y = x³ och y = sinx, men vi har ännu ingen regel för hur man deriverar en produkt av två funktioner av x. Allmänt kan vi skriva en produkt av två funktioner som y = f(x)· g(x). Exempel på en sådan funktion är y = x³· sinx, där vi har en produkt mellan f(x) = x³ och g(x) = sinx. Ett annat exempel är y = sin3x· cos3x, där vi har en produkt mellan f(x) = sin3x och g(x) = cos3x. Vi ska härleda en formel för hur man deriverar produkter. Formeln går under namnet produktregeln.
I figuren ovan är kurvan y = f(x)· g(x) ritad. Vi kan skriva y lite kortare (utan x) det vill säga y = f· g. Vi ska bestämma derivatan i punkten P = (x, y) = (x, f· g) som är en fast punkt på kurvan. Vi inför också den rörliga punkten Q på det vågräta avståndet delta x och det lodräta avståndet delta y från P. Punkten Q:s koordintater blir:
Riktningskoefficienten för en linje är
Sekanten PQ: s riktningskoefficient blir då
För att få derivatan y´ i punkten P bestämmer vi gränsvärdet för sekanten PQ: s riktningskoefficient då punkten Q går mot punkten P det vill säga vi får tangentens riktningskoefficient i P:
Man får
Vi har alltså kommit fram till följande produktregel: Minnesregel: Derivatan av en produkt = den första faktorns derivata gånger den andra faktorn + den första faktorn gånger den andras derivata. Kortare (utan x): |
|
|
|
| |
