Pythagoras sats

I rätvinkliga trianglar finns ett enkelt samband mellan sidorna som har uppkallats efter en grekisk matematiker från antiken, Pythagoras. Hans sats är en av de mest berömda och säger att i en rätvinklig triangel är summan av kateternas kvadrater lika med kvadraten på hypotenusan.

Hypotenusan är den rätvinkliga triangelns längsta sida och de två andra sidorna kallas katet.

Det finns flera bevis för Pythagoras sats. Ett geometriskt bevis ser ut så här. Vi utgår från två kvadrater med samma area och flyttar om fyra vita trianglar och jämför de röda areorna i de båda fallen.

I den vänstra kvadraten är den röda arean a2 + b2

I den högra kvadraten är den röda arean c2

Man inser att det röda har samma area i de båda kvadraterna eftersom det enda man gjort är att ha flyttat om de vita trianglarna. Alltså: a2 + b2 = c2

Omvänt gäller att om sidorna i en triangel uppfyller villkoret
a2 + b2 = c2 så är triangeln rätvinklig.

Pythagoras sats:

I en rätvinklig triangel gäller att: a2 + b2 = c2
Där a och b är katerna och c hypotenusan.

Omvänt gäller att om a2 + b2 = c2 så är triangeln rätvinklig.

Exempel 1: I en rätvinklig triangel är a = 3 cm och b = 4 cm. Beräkna hypotenusan c.

Lösning:

Vi använder Pythagoras sats

c2 = a 2 + b2

Sätt in värden på a och b

c2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25

Dra roten ur 25

Svar: Hypotenusan = 5 cm

Exempel 2: En triangel har sidorna 5 cm, 12 cm och 13 cm. Är triangeln rätvinklig?

Lösning: Om triangeln är rätvinklig ska Pythagoras sats gälla. Den längsta sidan är hypotenusan och de två andra är kateterna.

Sätt in i Pythagoras sats

52 + 122 = 132

Beräkna vänsterled

VL = 25 + 144 = 169

Beräkna högerled

HL = 169

Kontrollera likhet VL = HL

169 = 169

Svar: Triangeln är rätvinklig.