Upprepade slumpförsök

Fundera en stund på vad sannolikheten är för följande slumpförsök:

  • Ett visst tåg kommer i tid till sin slutstation.
  • En tändsticksask hamnar på högkant då man kastar upp den.
  • En pilkastare träffar mitt i prick.
  • Ett visst politiskt parti vinner valet.
  • En viss häst vinner en kapplöpning.
  • En elev får MVG i matematikbetyg.
  • AIK slår Djurgården i fotboll.

För alla dessa försök kan vi inte enkelt resonera oss fram till den aktuella sannolikheten. Enda sättet att då komma fram till en sannolikhet är att empiriskt upprepa försöket ett stort antal gånger och därefter beräkna den relativa frekvensen och se på vilket värde den stabiliserat sig på.

Nu blir frågan, kan vi upprepa ovanstående försök ett stort antal gånger med samma förutsättningar?

Några försök, som det med tändsticksasken och pilkastningen, är lätta att upprepa.

Har vi tid på oss kan vi studera tågets ankomsttid under ett år och på så vis få tillräckligt med observationer för att kunna räkna på det.

De andra försöken är lite svårare för att inte säga omöjliga att upprepa på samma sätt. Det kanske skulle gå att övertala AIK och Djurgården att spela derby så där 500 gånger för att vi ska kunna räkna ut sannolikheten för AIK-vinst, men det skulle kosta oss en ganska rejäl hacka.

Ytterligare andra, som politiska val, är nog helt ogörliga att utföra några hundra gånger.

Det går inte att vetenskapligt beräkna sannolikheterna för sådan slumpförsök och det öppnar dörren för opinionsundersökningar som med hjälp av stickprov försöker förutsäga valresultaten.

De använder en annan del av sannolikhetsläran som handlar om stickprov och dess representativitet: Detta är något som vi ska ta upp senare i kursen.

Vi går tillbaka till försöket med tändsticksasken. För att ta reda på sannolikheten för att asken ska hamna på sidan så kastar vi en tändsticksask 200 gånger och listar resultatet:


Antal kast

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Antal på sidan

0

2

4

4

5

5

6

9

10

11

13

Relativ frekvens

00

0,2

0,2

0,133

0,125

0,10

0,10

0,129

0,125

0,122

0,130

Antal kast

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

Antal på sidan

14

16

16

17

19

19

20

22

23

24

Relativ frekvens

0,127

0,133

0,123

0,121

0,127

0,119

0,118

0,122

0,121

0,120

En graf med antal kast på x-axeln och relativa frekvensen på y-axeln ser ut så här:

Här ser vi åter att den relativa frekvensen stabiliserar sig. Den här gången runt 0,12.

Man talar om de stora talens lag, som säger att då ett slumpförsök utförs ett mycket stort antal gånger så närmar sig den relativa frekvensen för en händelse det tal som anger sannolikheten för samma händelse. Vi fortsätter med några exempel.

Exempel 1: Ett fotbollslag har spelat 24 matcher. De har vunnit 12, förlorat 8 och spelat oavgjort i 4. Vad är sannolikheten för att laget vinner sin nästa match?

Lösning: Angriper vi problemet rent formellt får vi att sannolikheten för vinst är:

Det vill säga

Dock är vi nu ute på rätt hal is. Sannolikheten beräknat på det här sättet förutsätter att vi inte vet någonting om matchen. Vi känner inte till vilket motståndarlaget är. Vi vet inget om lagets dagsform eller något annat som kan påverka resultatet. Vet vi till exempel att de ska möta serieledarna så blir vår bedömning av sannolikheten annorlunda än om de skulle möta jumbolaget.

Exempel 2: En kommun lät sina invånare avgöra om kommunen skulle delas. Folkomröstningen gav följande resultatet:

  • 12 561 röstade för en delning
  • 8 254 röstade mot en delning
  • 933 röstade blankt
  • 6 722 brydde sig inte om att rösta.

Beräkna sannolikheten för att en slumpvist vald person med rösträtt.

a/ gick och röstade
b/ röstade emot en delning
c/ inte aktivt stödde en delningen.

Lösning:

a/ Kalla händelsen 'att gå och rösta' för A. Sannolikheten för A blir

P(A) = antal röstande / antal röstberättigade

Antalet röstberättigade var:

12561 + 8254 + 933 + 6722 = 28470

Totala antalet röstande var:

12561 + 8254 + 933 = 21748

P(A) = 21748 / 28470 » 0,757

Svar: P(gå och rösta) = 0,757

 

b/ Kalla händelsen 'rösta Nej' för B

P(B) = antal nej-röster / antal röstberättigade

P(B) = 8254 / 28470 » 0,287

Svar: P(rösta Nej) = 0,287

 

c/ Kalla händelsen 'inte aktivt stödja en delningen' för C.

De som inte aktivt stödjer en delning är alla som inte röstade Ja till den.

Det vill säga:  28470 - 12561 = 15909

P(C) = antal som ej aktivt stödde en delning / antal röstberättigade

P(C) = 15909 / 28470 » 0,559

Svar: P(inte aktivt stödja en delningen) = 0,559

 

(Extra fråga: Hur ska valresultatet tolkas, ska kommunen delas?)