Några begrepp

Vinkeln r i figuren är en randvinkel (eller bågvinkel).

Randvinkeln r sägs stå på cirkelbågen AB.

Vinkeln m i figuren är en medelpunktsvinkel.

Medelpunktsvinkel m står också på cirkelbågen AB.

1: Randvinkelns ena ben är en diameter.

Vi ska visa att medelpunktsvinkeln u är dubbelt så stor som randvinkeln v. Båda vinklarna står på bågen AB.

Vinkeln u är en yttervinkel till triangeln MBC. Denna triangel är likbent eftersom två sidor är radier i cirkeln. Vinklarna v och w är då lika.

Yttervinkelsatsen ger: u = v + w
Nu är v = w så vi får: u = 2 v

Det vill säga medelpunktsvinkeln är dubbla randvinkeln.

2: Medelpunktsvinkelns och randvinkelns ben korsar ej varann.

Börja med att dra en diameter i figuren. Problemet reduceras då till två fall av 1.

För vinklarna till höger om diametern gäller då att v = w och u = v + w vilket ger : u = 2 v

På samma sätt kan vi resonera om vinklarna till vänster om diametern.

Slutsatsen blir att hela medelpunktsvinkeln är dubbelt så stor som hela randvinkeln.

3: Medelpunktsvinkelns och randvinkelns ben korsar varann.

Vi ska visa att sambandet gäller för vinklarna u och v.

Dra en diameter i figuren för att reducera problemet till två fall av 1.

På de röda vinklarna kan vi tillämpa samma resonemang som för 1.

x och z är vinklar i en likbent triangel och därför lika.

y är en yttervinkel till triangeln vilket ger: y = x + z

Tillsammans ger det: y = 2 x

Även för de blå vinklarna kan vi genomföra samma resonemang och få:

a = 2 b

För de sökta vinklarna u och v gäller:
u = a - y och v = b - x

Nu är a = 2b och y = 2x

vilket ger: u = a-y = 2b - 2x = 2(b-x)= 2v

Alltså är även i detta fallet medelpunktsvinkeln dubbelt så stor som randvinkeln.  

Randvinkelsatsen:

En randvinkel på samma båge som en medelpunktsvinkel är hälften så stor som den.